Modul Matematika - Limit - MAN 1 BELITUNG - SITUS RESMI MADRASAH ALIYAH NEGERI 1 BELITUNG ( MANSABEL )

Limit fungsi aljabar adalah menentukan nilai fungsi aljabar jika peubah fungsi tersebut mendekati nilai tertentu.

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu :
Bentuk pertama
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$
Bentuk kedua
$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam kaitanya dengan bentuk limit pertama ada beberapa metode didalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan metode subsitusi dan metode pemfaktoran.

I. Metode Subsitusi :

Metode subsitusi ini tinggal mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya, di bawah ini ada beberpa contoh untuk dapat dipelajari.

Contoh (1) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Contoh (2) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 2(2)^{2}+5=\ 2(4)+5=\ 8+5=\13$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 13$

Contoh (3) :

$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ (-2)^{2}-3(-2)+2=\ 4+6+2=\ 12$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ 12$

Contoh (4) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ \frac{1-(1)}{(1)+1}=\ \frac{0}{2}=\ 0$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ 0$

Contoh (5) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 2(1)+\frac{3}{1}=\ 2+3=\ 5$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 5$

Contoh (6) :

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ \frac{(0)^{3}}{(0)^{2}-1}=\ \frac{0}{-1}=\ 0$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ 0$

Contoh (7) :

$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ \frac{(-1)^{2}-2(-1)+1}{(-1)+2}=\frac{1+2+1}{-1+2}=\ 4$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ 4$

II. Metode Pemfaktoran:

Metode pemfaktoran digunakan jika metode subsitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan, seperti contoh di bawah ini

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Metode pemfaktoran dilakukan dengan cara menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya. Di bawah ini ada beberapa contoh untuk dapat dipelajari.

Contoh (1) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Contoh (2) :

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Red} (x-1)}(x+5)}{{\color{Red} (x-1)}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+5)=(1)+5=6$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\ 6$

Contoh (3) :

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ \sqrt{2}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Dalam kaitanya dengan bentuk limit kedua ada beberapa metode didalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

I. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

Contoh (1) :

$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}-6x+1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}+7x}{x^{2}}}$

pada soal ini derajat pangkat pembilang dan penyebut sama yaitu berderajat 2

$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{6x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{7x}{x^{2}}}=\ \lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{7}{x}}$

$\frac{4-\frac{6}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}}{2+\frac{7}{\sim }}=\ \frac{4-0-0}{2+0}=\frac{4}{2}=2$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\ 2$

Contoh (2) :

$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{3}}{x^{2}}-\frac{5x}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}-\frac{7}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}$

pada soal ini derajat pangkat pembilang adalah 3 dan derajat pangkat penyebut adalah 2

$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}=\ \frac{4(\sim )-\frac{5}{(\sim )}}{3-\frac{7}{(\sim )^{2}}}=\frac{\sim -0}{3-0}=\frac{\sim }{3}=\sim$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,

$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\ \sim$

Contoh (3) :

$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{-4x^{2}+x-3}{3x^{3}-5}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}+x-3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}-5}{x^{3}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}-\frac{3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}}{x^{3}}-\frac{5}{x^{3}}}$

pada soal ini derajat pangkat pembilang adalah 2 dan derajat pangkat penyebut adalah 3

$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}}{{3}-\frac{5}{x^{3}}}=\frac{\frac{-4}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}-\frac{3}{\sim ^{3}}}{{3}-\frac{5}{\sim ^{3}}}=\frac{0+0-0}{3-0}=\frac{0}{3}=0$

Jadi nilai limit fungsi aljabar,